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Jede Funktion, deren Funktionsgleichung sich in der Form
darstellen lässt, heißt quadratische Funktion. Ihr Graph ist immer eine Parabel, deren höchsten bzw. tiefsten Punkt man als Scheitelpunkt der Parabel bezeichnet. Weil es sich bei den Parametern und um die Koordinaten des Scheitelpunkts handelt, bezeichnet man diese Darstellung einer quadratischen Funktion als Scheitelpunktform. Der Parameter ist der Streckungs- bzw. Stauchungsfaktor.
Vergewissere dich der Rollen, welche die Parameter , und in der Scheitelpunktform für den Graphen spielen, indem du die drei zugehörigen Schieberegler benutzt:
Erläutere die Scheitelpunktform und beschreibe die Rolle ihrer drei Parameter , und .
Anhand der folgenden zwei Aufgaben soll das Verständnis von der Scheitelpunktform gefestigt werden.
Ist die Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion bekannt, so lässt sich der Scheitelpunkt der zugehörigen Parabel unmittelbar ablesen. Umgekehrt lässt sich aber die Funktionsgleichung nicht eindeutig bestimmen, falls nur der Scheitelpunkt bekannt ist.
Überzeuge dich davon, dass für das eindeutige Bestimmen einer Parabel bei gegebenem Scheitelpunkt noch ein weiterer Punkt, durch den die Parabel verläuft, benötigt wird, indem du mit der Maus am Scheitelpunkt und am weiteren Punkt der Parabel ziehst:
Anhand der folgenden vier Aufgaben soll das Aufstellen der Scheitelpunktform quadratischer Funktionen eingeübt werden.
Bevor du mit der nächsten Lerneinheit beginnst, hast du die Möglichkeit, eine nützliche Darstellungsform linearer Funktionen zu untersuchen, die bemerkenswerte Gemeinsamkeiten mit der Scheitelpunktform quadratischer Funktionen aufweist und beim Bearbeiten der Aufgaben der nächsten Lerneinheit hilfreich sein kann. Zur Hervorhebung dieser Gemeinsamkeiten bietet sich eine den obigen Untersuchungen von Parabeln weitgehend analoge Untersuchung von Geraden als Funktionsgraphen an.
Die Graphen linearer Funktionen bezeichnet man als Geraden. Sie können sich in ihrer Steigung und in ihrer Lage im Koordinatensystem voneinander unterscheiden. Geraden, die durch den Koordinatenursprung gehen, nennt man Ursprungsgeraden. Diejenigen linearen Funktionen, deren Graphen Ursprungsgeraden sind, werden als proportionale Funktionen bezeichnet. Der Graph der einfachsten proportionalen Funktion ist die Ursprungsgerade mit der Steigung 1.
Die Ursprungsgerade mit der Steigung 1 ist der Graph der proportionalen Funktion mit der Funktionsgleichung . Durch Spiegeln an der -
Analog zur Vorgehensweise bei der Normalparabel darf man selbstverständlich auch in der Funktionsgleichung der Ursprungsgeraden mit der Steigung 1 die Variable mit dem Faktor 1 multiplizieren, ohne dass sich dadurch irgendwelche Funktionswerte änderten: . Um nun zu untersuchen, welche Auswirkungen das Ändern dieses Faktors auf den Graphen hat, wird er durch einen Parameter ersetzt:
.
Untersuche, was mit dem Graphen passiert, wenn der Parameter , der dir als Geradensteigung bekannt sein dürfte, in der Funktionsgleichung verschiedene Werte annimmt, indem du den entsprechenden Schieberegler benutzt:
Untersuche, was mit der Funktionsgleichung passiert, wenn du den zugehörigen Graphen verschiebst, indem du mit der Maus am Punkt ziehst:
Jede Funktion, deren Funktionsgleichung sich in der Form
darstellen lässt, heißt lineare Funktion. Ihr Graph ist immer eine Gerade, die durch den Punkt geht. Weil es sich bei den Parametern und um die Koordinaten des Punkts und bei dem Parameter um die Steigung der Geraden handelt, bezeichnet man diese Darstellung einer linearen Funktion als Punkt-Steigungs-Form.
In der dritten Lerneinheit geht es um das Modellieren der Wirklichkeit mit Hilfe quadratischer oder auch linearer Funktionen.