Lernpfad: Quadratische Funktionen in Scheitelpunktform

Aufgaben zum Aufstellen der Scheitelpunktform

Bestimme in den Aufgaben die Werte der drei Parameter $a$ , $d$ und $e$ so, dass die gestellten Bedingungen erfüllt werden, um das Aufstellen der Scheitelpunktform quadratischer Funktionen einzuüben.

Nach der Eingabe deines jeweiligen Ergebnisses erhältst du eine Rückmeldung.

Aufgabe 1 von 4

Gegeben sind der Scheitelpunkt $S (2 | 1)$ einer Parabel und ein weiterer Punkt $P (0 | 3)$ auf der Parabel.

Auftrag

Bestimme diejenigen Werte von $a$ , $d$ und $e$ , für die es sich bei dem zur Funktionsgleichung $y = a \cdot {(x - d)}^{2} + e$ gehörenden Graphen um genau diese Parabel handelt.

Parameter in der Funktionsgleichung

y = a \cdot {(x - d)}^{2} + e

Das ist richtig!

Das ist leider falsch.

Aufstellen der Scheitelpunktform

Beispiel

Problem:
Von einer Parabel sind nur ihr Scheitelpunkt $S (1 | 2)$ und ein weiterer Punkt $P (3 | - 2)$ bekannt. Die zugehörige Funktionsgleichung soll rechnerisch bestimmt werden.

Lösung:
Mit den Koordinaten des Scheitelpunkts $S (1 | 2)$ sind die Werte der Parameter $d$ und $e$ in der Scheitelpunktform $y = a \cdot {(x - d)}^{2} + e$ bereits festgelegt. Man erhält also durch Einsetzen von $d = 1$ und $e = 2$ zunächst die Funktionsgleichung

$y = a \cdot {(x - 1)}^{2} + 2$ .

Weil allerdings der Wert des Parameters $a$ noch nicht festgelegt ist, gibt es eine unendlich große Schar von Parabeln, die zu dieser Funktionsgleichung gehören. Du kannst dich davon überzeugen, indem du den entsprechenden Schieberegler benutzt:

Vermutlich hast du beim Benutzen des Schiebereglers bereits den passenden Wert des Parameters $a$ herausgefunden, für den die Parabel durch den Punkt $P$ geht. In diesem Beispiel soll der Wert aber rechnerisch bestimmt werden. Dazu setzt man die Koordinaten des Punkts $P (3 | - 2)$ in die Funktionsgleichung ein und erhält

$- 2 = a \cdot {(3 - 1)}^{2} + 2$ .

Löst man diese lineare Gleichung nach $a$ auf, so erhält man schließlich $a = - 1$ . Die gesuchte Funktionsgleichung lautet also

$y = - {(x - 1)}^{2} + 2$ .

Der zugehörige Graph erfüllt die gestellten Bedingungen:

Allgemeine Vorgehensweise

Sind von einer quadratischen Funktion der Scheitelpunkt $S (x_{S} | y_{S})$ und ein weiterer Punkt $P (x_{P} | y_{P})$ ihres Graphen bekannt, so kann man, um die Funktionsgleichung zu bestimmen, zunächst die Koordinaten $x_{S}$ und $y_{S}$ von $S$ als bereits bekannte Werte der Parameter $d$ und $e$ in die Scheitelpunktform $y = a \cdot {(x - d)}^{2} + e$ einsetzen:

$y = a \cdot {(x - x_{S})}^{2} + y_{S}$ .

Setzt man nun für $x$ und $y$ noch die Koordinaten des Punkts $P$ ein, so erhält man eine Gleichung, die als einzige Unbekannte den Parameter $a$ enthält:

$y_{P} = a \cdot {(x_{P} - x_{S})}^{2} + y_{S}$ .

Löst man diese lineare Gleichung nach $a$ auf, so erhält man den benötigten Wert von $a$ und kann diesen in die Scheitelpunktform einsetzen. Das Resultat ist die gesuchte Funktionsgleichung.

Zurück zur Lerneinheit 2