Lernpfad: Quadratische Funktionen in Scheitelpunktform

Aufgaben zur Streckung und Stauchung der Normalparabel

Bestimme in den Aufgaben den Wert des Parameters $a$ so, dass die gestellten Bedingungen erfüllt werden, um die Bedeutung dieses Parameters für die Streckung und Stauchung der Normalparabel zu verinnerlichen und das Aufstellen entsprechender Funktionsgleichungen einzuüben.

Nach der Eingabe deines jeweiligen Ergebnisses erhältst du eine Rückmeldung.

Aufgabe 1 von 5

Gegeben ist die Parabel mit der Funktionsgleichung $y = 2 \cdot x^{2}$ . Diese Parabel soll an der $x$ -Achse gespiegelt werden.

Auftrag

Bestimme denjenigen Wert von $a$ , für den es sich beim Graphen mit der Funktionsgleichung $y = a \cdot x^{2}$ um genau diese gespiegelte Parabel handelt.

Gegeben ist der Punkt $P (1 | 3)$ .

Auftrag

Bestimme denjenigen Wert von $a$ , für den der zur Funktionsgleichung $y = a \cdot x^{2}$ gehörende Graph durch diesen Punkt $P$ geht.

Parameter in der Funktionsgleichung

y = a \cdot x^{2}

Das ist richtig!

Das ist leider falsch.

Bestimmen des Streckung- bzw. Stauchungsfaktors

Beispiel

Problem:
Von einer quadratischen Funktion, deren Funktionsgleichung die Form $y = a \cdot x^{2}$ mit $a \neq 0$ hat, ist bekannt, dass ihr Graph durch den Punkt $P (2 | - 9)$ geht. Der zugehörige Wert des Parameters $a$ soll rechnerisch bestimmt werden.

Lösung:
Der Punkt $P (2 | - 9)$ kann nur dann auf dem Graphen liegen, wenn seine Koordinaten die Funktionsgleichung erfüllen. Es ist also derjenige Wert des Parameters $a$ gesucht, mit dem das Quadrat der $x$ -Koordinate von $P$ multipliziert werden muss, um die $y$ -Koordinate von $P$ zu erhalten:

$- 9 = a \cdot 2^{2}$ .

Löst man diese lineare Gleichung nach $a$ auf, so erhält man den gesuchten Parameterwert $a = - \frac{9}{4}$ . Die Funktionsgleichung lautet also

$y = - \frac{9}{4} \cdot x^{2}$ .

Der zugehörige Graph erfüllt die gestellte Bedingung:

Allgemeine Vorgehensweise

Ist von einer Funktion mit der allgemeinen Funktionsgleichung $y = a \cdot x^{2}$ bekannt, dass ihr Graph durch den Punkt $P (x_{P} | y_{P})$ geht, so kann man den Wert von $a$ bestimmen, indem man für $x$ und $y$ die Koordinaten $x_{P}$ und $y_{P}$ von $P$ in die Funktionsgleichung einsetzt. Man erhält dann nämlich eine Gleichung, die als einzige Unbekannte den Parameter $a$ enthält:

$y_{P} = a \cdot {x_{P}}^{2}$ .

Löst man diese lineare Gleichung nach $a$ auf, so erhält man den gesuchten Wert.

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