Von der Durchschnittsgeschwindigkeit
zur Momentangeschwindigkeit

Betrachtet wird ein Massenpunkt, der eine eindimensionale Bewegung in $x$ -Richtung durchführt. In einem Zeitintervall $[t_{0}; t_{1}]$ mit $t_{1} = t_{0} + ∆ t$ ändert sich sein Ort um $∆ x = x (t_{1}) - x (t_{0})$ . Für die Durchschnittsgeschwindigkeit des Massenpunkts – also die mittlere Änderungsrate seines Orts – in diesem Zeitintervall der Länge $∆ t$ gilt folglich:

$\overset{─}{v} = \frac{∆ x}{∆ t} = \frac{x (t_{1}) - x (t_{0})}{∆ t} = \frac{x (t_{0} + ∆ t) - x (t_{0})}{∆ t}$ .

Je kleiner $∆ t$ ist, desto besser eignet sich diese Durchschnittsgeschwindigkeit als Näherung der Momentangeschwindigkeit, die der Massenpunkt zum Zeitpunkt $t_{0}$ besitzt.

Im Folgenden können Sie untersuchen, wie sich die Durchschnittsgeschwindigkeit $\overset{─}{v}$ des Massenpunkts seiner Momentangeschwindigkeit $v (t_{0})$ annähert, wenn Sie $∆ t$ verkleinern.


Grenzwertbildung $∆ t \to 0$ Zeit-Geschwindigkeit-Diagramm anzeigen Animation:

Momentangeschwindigkeit als Differentialquotient

Die Durchschnittsgeschwindigkeit $\overset{─}{v}$ im Zeitintervall $[t_{0}; t_{0} + ∆ t]$ kommt der Momentangeschwindigkeit $v (t_{0})$ , die der Massenpunkt zum Zeitpunkt $t_{0}$ besitzt, beliebig nahe, wenn $∆ t$ gegen den Wert $0$ strebt. Deshalb erhält man die Momentangeschwindigkeit als Grenzwert:

$v (t_{0}) = lim_{∆ t \to 0} (\frac{x (t_{0} + ∆ t) - x (t_{0})}{∆ t})$ .

Man kann sich diesen Grenzwert als Differentialquotienten aus der momentanen Ortsänderung $d x (t_{0})$ zum Zeitpunkt $t_{0}$ und einer unendlich kurzen Zeitspanne $d t$ vorstellen:

$v (t_{0}) = \frac{d x (t_{0})}{d t}$ .

Gemäß dieser Vorstellung erfährt der Massenpunkt zum Zeitpunkt $t_{0}$ also die momentane Ortsänderung

$d x (t_{0}) = v (t_{0}) \cdot d t$ .

Von der Durchschnittsgeschwindigkeit zur Momentangeschwindigkeit

Momentangeschwindigkeit als Differentialquotient

Von der Durchschnittsgeschwindigkeit
zur Momentangeschwindigkeit