Millikan-Versuch
zum Bestimmen der Elementarladung

Bedienungshinweise

Beachten Sie, dass nur ein $2\mathrm{mm}$ hoher Ausschnitt des insgesamt $5\mathrm{mm}$ hohen Bereichs zwischen den Kondensatorplatten sichtbar ist. Deshalb verschwindet jedes Öltröpfchen erst dann aus der Simulation, wenn es sich bereits um $\mathrm{1,5}\mathrm{mm}$ – nach oben oder nach unten – vom sichtbaren Ausschnitt entfernt hat. Sie können also ein Öltröpfchen, das den sichtbaren Ausschnitt verlassen hat, durch die Wahl einer geeigneten Spannung wieder zurückholen, solange es noch keine der beiden Kondensatorplatten erreicht hat.

Das der Simulation zugrunde liegende Modell der Wirklichkeit ist so realistisch gestaltet worden, dass die Anwendung der Cunningham-Korrektur die Genauigkeit der Ergebnisse beträchtlich erhöht. Für die Auswertung der Messergebnisse (ohne Cunningham-Korrektur) kann ein vorbereitetes Tabellendokument benutzt werden.

Die Bedienung der Simulation kann – je nach Vorliebe – per Maus oder per Tastatur erfolgen.

Tipp: Verwenden Sie für die Zeitmessungen eigene Hand-Stoppuhren, damit Sie per Maus/Tastatur lediglich die Spannung regeln müssen.

Ersatzmesswerte

Die folgenden Messwerte sind mit Hilfe der Schwebemethode aus der obigen Simulation gewonnen worden. Sie können als Ersatzmesswerte genutzt werden.

Schwebemethode

Beim Anwenden der Schwebemethode wird ein Öltröpfchen, das die elektrische Ladung $Q\ne 0$ trägt, mit einer geeigneten Kondensatorspannung $U_0\ne 0$ zum Schweben gebracht. Wenn es schwebt, erfährt das Öltröpfchen die resultierende Kraft $F=0$. Die Auftriebskraft $F_{\text{A}}$ und die elektrische Feldkraft $F_{\text{el}}$ kompensieren nämlich zusammen die Gewichtskraft $G$:

${\displaystyle F_{\text{A}}+F_{\text{el}}=-G}$.

Also gilt:

${\displaystyle -\frac{4}{3}\mathrm{\pi }\cdot r^3\cdot {\rho }_{\text{Luft}}\cdot g+Q\cdot \frac{U_0}{d}=-\frac{4}{3}\mathrm{\pi }\cdot r^3\cdot {\rho }_{\text{Öl}}\cdot g}$.

Daraus folgt:

${\displaystyle Q=-\frac{4}{3}\mathrm{\pi }\cdot r^3\cdot ({\rho }_{\text{Öl}}-{\rho }_{\text{Luft}})\cdot g\cdot \frac{d}{U_0}}$.

Der Radius $r$ des Öltröpfchens kann für $U=0$ aus der Sinkgeschwindigkeit ermittelt werden. In diesem Fall ist die resultierende Kraft $F=0$, weil die Auftriebskraft $F_{\text{A}}$ und die Reibungskraft $F_{\text{R}}$ zusammen die Gewichtskraft $G$ kompensieren:

${\displaystyle F_{\text{A}}+F_{\text{R}}=-G}$.

Also gilt:

${\displaystyle -\frac{4}{3}\mathrm{\pi }\cdot r^3\cdot {\rho }_{\text{Luft}}\cdot g-6\mathrm{\pi }\cdot \eta \cdot r\cdot v=-\frac{4}{3}\mathrm{\pi }\cdot r^3\cdot {\rho }_{\text{Öl}}\cdot g}$.

Daraus folgt:

${\displaystyle r=\sqrt{\frac{9\cdot \eta \cdot v}{2\cdot ({\rho }_{\text{Öl}}-{\rho }_{\text{Luft}})\cdot g}}}$.

Gleichfeldmethode

Beim Anwenden der Gleichfeldmethode wird ein Öltröpfchen, das die elektrische Ladung $Q\ne 0$ trägt, zunächst mit einer geeigneten Kondensatorspannung $U_{\text{steig}}\ne 0$ zum Steigen gebracht. In diesem Fall, in dem sich das Öltröpfchen mit einer konstanten Steiggeschwindigkeit $v_{\text{steig}}>0$ bewegt, erfährt es die resultierende Kraft $F=0$. Die Auftriebskraft $F_{\text{A}}$ und die elektrische Feldkraft $F_{\text{el}}$ kompensieren nämlich zusammen die Summe aus Gewichtskraft $G$ und Reibungskraft $F_{\text{R}}$:

${\displaystyle F_{\text{A}}+F_{\text{el}}=-(G+F_{\text{R}})}$.

Also gilt:

${\displaystyle -\frac{4}{3}\mathrm{\pi }\cdot r^3\cdot {\rho }_{\text{Luft}}\cdot g+Q\cdot \frac{U_{\text{steig}}}{d}=-\frac{4}{3}\mathrm{\pi }\cdot r^3\cdot {\rho }_{\text{Öl}}\cdot g+6\mathrm{\pi }\cdot \eta \cdot r\cdot v_{\text{steig}}}$.

Daraus folgt:

${\displaystyle v_{\text{steig}}=\frac{2\cdot r^2\cdot ({\rho }_{\text{Öl}}-{\rho }_{\text{Luft}})\cdot g}{9\cdot \eta }+\frac{Q\cdot U_{\text{steig}}}{6\mathrm{\pi }\cdot \eta \cdot r\cdot d}}$.

Anschließend wird das Öltröpfchen mit der betragsmäßig gleichen Kondensatorspannung $U_{\text{sink}}=-U_{\text{steig}}$ zum Sinken gebracht. In diesem Fall, in dem sich das Öltröpfchen mit einer konstanten Sinkgeschwindigkeit $v_{\text{sink}}<0$ bewegt, erfährt es die resultierende Kraft $F=0$, weil die Auftriebskraft $F_{\text{A}}$ und die Reibungskraft $F_{\text{R}}$ zusammen die Summe aus Gewichtskraft $G$ und elektrischer Kraft $F_{\text{el}}$ kompensieren:

${\displaystyle F_{\text{A}}+F_{\text{R}}=-(G+F_{\text{el}})}$.

Also gilt:

${\displaystyle -\frac{4}{3}\mathrm{\pi }\cdot r^3\cdot {\rho }_{\text{Luft}}\cdot g-6\mathrm{\pi }\cdot \eta \cdot r\cdot v_{\text{sink}}=-\frac{4}{3}\mathrm{\pi }\cdot r^3\cdot {\rho }_{\text{Öl}}\cdot g-Q\cdot \frac{U_{\text{sink}}}{d}}$.

Daraus folgt unter Verwendung der Beziehung $U_{\text{sink}}=-U_{\text{steig}}$:

${\displaystyle v_{\text{sink}}=\frac{2\cdot r^2\cdot ({\rho }_{\text{Öl}}-{\rho }_{\text{Luft}})\cdot g}{9\cdot \eta }-\frac{Q\cdot U_{\text{steig}}}{6\mathrm{\pi }\cdot \eta \cdot r\cdot d}}$.

Durch Subtraktion der beiden Geschwindigkeiten und Auflösen der dadurch entstandenen Gleichung nach $Q$ erhält man:

${\displaystyle Q=\frac{3\mathrm{\pi }\cdot \eta \cdot r\cdot d}{U_{\text{steig}}}\cdot (v_{\text{steig}}-v_{\text{sink}})}$.

Durch Addition der beiden Geschwindigkeiten und Auflösen der dadurch entstandenen Gleichung nach $r$ erhält man:

${\displaystyle r=\frac{3}{2}\cdot \sqrt{\frac{(v_{\text{steig}}+v_{\text{sink}})\cdot \eta }{({\rho }_{\text{Öl}}-{\rho }_{\text{Luft}})\cdot g}}}$.

Cunningham-Korrektur

Um die Cunningham-Korrektur anzuwenden, ersetzt man die dynamische Viskosität $\eta$ durch eine korrigierte dynamische Viskosität, für die in erster Näherung gilt:

${\displaystyle {\eta }_{\text{korr}}=\eta \cdot {(1+\frac{a}{r})}^{-1}}$.

Die Konstante $a$ lässt sich empirisch abschätzen und hängt u. a. vom Luftdruck und von der Temperatur ab.

Ist $Q$ die mit der unkorrigierten dynamischen Viskosität $\eta$ berechnete elektrische Ladung eines Öltröpfchens, so gilt für die korrigierte elektrische Ladung:

${\displaystyle Q_{\text{korr}}=Q\cdot {(1+\frac{a}{r})}^{-\frac{3}{2}}}$.

Mit $e=\frac{Q}{k}$ und $e_{\text{korr}}=\frac{Q_{\text{korr}}}{k}$ folgt daraus:

${\displaystyle e_{\text{korr}}=e\cdot {(1+\frac{a}{r})}^{-\frac{3}{2}}}$.

Also gilt:

${\displaystyle e^{\frac{2}{3}}=e_{\text{korr}}^{\frac{2}{3}}\cdot (1+\frac{a}{r})}$.

Damit wird deutlich, dass $e^{\frac{2}{3}}$ eine lineare Funktion von $\frac{1}{r}$ ist. Der korrigierte Wert $e_{\text{korr}}$ der Elementarladung lässt sich also mittels linearer Regression bestimmen, wenn man $e^{\frac{2}{3}}$ als Funktion von $\frac{1}{r}$ graphisch aufträgt. Dazu muss der Wert der Konstanten $a$ gar nicht bekannt sein.