Terme mit einer Variablen umformen

Formt man einen Term mit einer Variablen durch Anwenden von Rechengesetzen um, so erhält man einen gleichwertigen (bzw. äquivalenten) Term. Das Ziel, das mit dem Umformen von Termen verfolgt wird, besteht in der Regel darin, einen Term zu erhalten, der einfacher ist als der Ausgangsterm. Wird die Variable mit einer Zahl multipliziert, so darf man den Malpunkt weglassen, wenn man die Zahl vor die Variable schreibt. Außerdem ist es üblich, Summanden, die keine Variable enthalten, an das Ende des Terms zu setzen. Dies ist möglich, weil sowohl für Produkte als auch für Summen das Kommutativgesetz gilt, die Reihenfolge von Faktoren bzw. Summanden also beliebig gewählt werden darf. Für den Term, den man beispielsweise erhält, wenn man zur Zahl $3$ das Doppelte der Variablen $x$ addiert, gilt also:

$3 + x \cdot 2 = 2 \cdot x + 3 = 2 x + 3$ .

Dieser Term lässt sich nicht weiter vereinfachen.

Liegt ein Term vor, der eine Klammer enthält, dann wendet man in der Regel das Distributivgesetz an, um die Klammer aufzulösen. Die Vorgehensweise lässt sich am besten anhand von Beispielen nachvollziehen.

Beispiele

Beim Umformen von Termen mit einer Variablen $x$ erhält man einen einfacheren Term, wenn man alle diejenigen Summanden, welche die Variable $x$ enthalten, sowie alle restlichen Summanden zusammenfasst. Dies wird im folgenden Beispiel 1 gezeigt, in dem alle diejenigen Summanden, die $x$ enthalten, grün markiert worden sind:

$- 3 x + 5 + 7 x - 8 + x = - 3 x + 7 x + x + 5 - 8 = 5 x - 3$ .

Enthält ein Term mit einer Variablen $x$ eine Klammer, so lässt diese sich auflösen, indem man das Distributivgesetz wie im folgenden Beispiel 2 anwendet:

$3 \cdot (2 x - 5) = 3 \cdot 2 x + 3 \cdot (- 5) = 6 x - 15$ .

Auch bei Anwesenheit einer sog. Minusklammer hilft das Distributivgesetz, wie das folgende Beispiel 3 zeigt:

$7 - (2 x - 4) = 7 - 1 \cdot (2 x - 4) = 7 - 1 \cdot 2 x - 1 \cdot (- 4) = 7 - 2 x + 4 = - 2 x + 11$ .

Fülle die Lücken in den Rechenaufgaben passend aus, um das Umformen von Termen mit einer Variablen zu trainieren. Für jede richtig gelöste Aufgabe erhältst du einen (virtuellen) Taler, für jede falsch gelöste Aufgabe verlierst du wieder einen Taler.

Schaffst du es, mindestens 50 Taler zu sammeln?

Aufgabe 1

In der folgenden Rechenaufgabe fehlen zwei Zahlen.

Auftrag

Setze zwei passende Zahlen ein.

Das ist richtig!

Das ist leider falsch.

Falls du beim Umformen Schwierigkeiten haben solltest – beispielsweise beim Bestimmen der korrekten Vorzeichen der einzelnen Summanden –, könntest du z. B. das Addieren und Subtrahieren ganzer Zahlen oder das kleine Einmaleins mit ganzen Zahlen trainieren, bevor du hier weitermachst.