Anwenden der binomischen Formeln

Die binomischen Formeln sind nützlich, wenn Summen oder Differenzen zu potenzieren sind. Umgekehrt können Sie aber auch beim Faktorisieren von Summen und Differenzen hilfreich sein.

Binomische Formeln

Die binomischen Formeln gelten für zwei beliebige Zahlen $a$ und $b$ . Die erste binomische Formel lautet:

1. binomische Formel: ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ .

Das Anwenden der ersten binomischen Formel soll das folgende Beispiel 1 mit $a = 3 x$ und $b = 4 y$ verdeutlichen:

${(3 x + 4 y)}^{2} = {(3 x)}^{2} + 2 \cdot 3 x \cdot 4 y + {(4 y)}^{2} = 9 x^{2} + 24 x y + 16 y^{2}$ .

Ersetzt man in der ersten binomischen Formel $b$ durch $- b$ , so erhält man die zweite binomische Formel:

2. binomische Formel: ${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ .

Das Anwenden der zweiten binomischen Formel soll das folgende Beispiel 2 mit $a = 4 x$ und $b = 5 y$ verdeutlichen:

${(4 x - 5 y)}^{2} = {(4 x)}^{2} - 2 \cdot 4 x \cdot 5 y + {(5 y)}^{2} = 16 x^{2} - 40 x y + 25 y^{2}$ .

Der folgende Zusammenhang, der sich gar nicht auf die Potenz einer Summe oder Differenz bezieht, wird als dritte binomische Formel bezeichnet:

3. binomische Formel: $(a + b) \cdot (a - b) = a^{2} - b^{2}$ .

Fülle die Lücken in den Rechenaufgaben passend aus, um das Anwenden der binomischen Formeln zu trainieren. Für jede richtig gelöste Aufgabe erhältst du einen (virtuellen) Taler, für jede falsch gelöste Aufgabe verlierst du wieder einen Taler.

Schaffst du es, mindestens 50 Taler zu sammeln?

Aufgabe 1

In der folgenden Rechenaufgabe fehlt eine Zahl.

Auftrag

Setze eine passende natürliche Zahl ein.

{(x - 3)}^{2} = x^{2} - \cdot x + 9

{(x - \frac{7}{5})}^{2} = x^{2} - \frac{}{} \cdot x + \frac{49}{25}

{(3 - x)}^{2} = - 6 x + x^{2}

{(x - \frac{7}{5})}^{2} = x^{2} - \frac{14}{5} x + \frac{}{}

(2 x + 3) \cdot (2 x - 3) = 4 x^{2} -

(2 x + \frac{3}{2}) \cdot (2 x - \frac{3}{2}) = 4 x^{2} - \frac{}{}

{(2 x - 4 y)}^{2} = \cdot x^{2} - \cdot x y + 16 y^{2}

9 x^{2} - 24 x y + {(4 y)}^{2} = {(\cdot x - \cdot y)}^{2}

{(\cdot x)}^{2} - 16 y^{2} = (3 x + \cdot y) \cdot (3 x - \cdot y)

{(\cdot x - \cdot y)}^{2} = 9 x^{2} - 24 x y + {(\cdot y)}^{2}

(2 x + 3) \cdot (2 x 3) = 4 x^{2} 12 x 9

(2 x 3) \cdot (2 x - 3) = 4 x^{2} 12 x 9

(2 x 3) \cdot (2 x - 3) = 4 x^{2} 9

Das ist richtig!

Das ist leider falsch.